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椭圆中两直线斜率积(和)为定值与定点问题

【考情分析】定点问题是圆锥曲线中十分重要的内容，蕴含着动、静依存的辩证关系，深刻体现了数学的魅力，在高考中常常涉及此类问题且位于中档题的位置．本专题以椭圆中的斜率之积(和)为条件，从具体问题入手，通过对解决方法进行总结辨析，使学生能够根据问题的条件寻找与设计更合理、更简捷的运算途径，并引导学生发现这类问题所具有的更一般性规律.

【典例解析】

例题：过椭圆C：4(x2)＋y²＝1的上顶点A作互相垂直的直线分别交椭圆于M，N两点．求证：直线MN过定点，并求出该定点坐标．

变式1若将上述试题中“椭圆C的上顶点”改为椭圆上另一个定点(如右顶点)，直线MN是否仍然过定点？若对于更一般的椭圆呢？

变式2过椭圆4(x2)＋y²＝1的上顶点A作两条直线分别交椭圆于M，N两点，且两条直线的斜率之积为λ.求证：直线MN过定点，并求出该定点坐标．

练习1：如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆9(x2)＋5(y2)＝1的左、右顶点为A，B，右焦点为F，设过点T(t，m)的直线TA，TB与此椭圆分别交于点M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，其中m＞0，y₁＞0，y₂＜0，设t＝9，求证：直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)．

练习1：在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆左、右顶点为A，B，右焦距为2，直线与椭圆交于C,D两点（均异与椭圆的左右顶点），当直线过椭圆的右焦点F且垂直轴时，四边形ABCD的面积为6，设直线AC,BD的斜率为

（1）求椭圆的标准方程

（2）若，求直线过定点

（3）若直线过椭圆的右焦点F，试判断是否为定值，并说明理由